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经典算法实验报告
一、实验内容
本次完成 4 个实验：
| 模块 | 实验 |
|---|---|
| 分治 | 1-B-1 基于分治找最大值 |
| 动态规划与贪心 | 2-B-1 装配线调度二分分治与 DP |
| 动态规划与贪心 | 2-B-2 矩阵链乘贪心与 DP 对比 |
| 常规搜索 | 3-B-1 皇后问题回溯算法 |
二、实验过程与结果
1. 分治找最大值
算法思路：将数组二分，分别求左右子数组最大值，再取二者较大值。
复杂度：
- 时间复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(1)=O(n) - 空间复杂度：递归栈
O(log n)
测试：随机生成数组，与顺序扫描结果对比，测试通过。
基准结果：
| 数据规模 | 时间 |
|---|---|
| 1000 | 2214 ns/op |
| 100000 | 215274 ns/op |
结论：运行时间随输入规模近似线性增长，符合 O(n) 分析。
2. 装配线调度
实现了两种算法：
- 动态规划：从左到右计算到达两条生产线每个工位的最小时间。
- 二分分治：将工位从中间分成左右两段，递归计算子问题，再合并两段之间的换线代价。
复杂度：
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| DP | O(n) |
O(n) |
| 二分分治 | O(n) |
O(log n) |
测试：对长度 1..128 的随机数据，每个长度测试 200 组，二者结果完全一致。
基准结果：
| 算法 | n=1000 | n=100000 |
|---|---|---|
| DP | 3531 ns/op | 323679 ns/op |
| 二分分治 | 5959 ns/op | 632573 ns/op |
结论：两种算法同为线性时间；本实现中 DP 更快，但需要额外数组，分治版无堆分配。
3. 矩阵链乘
实现了：
- DP 最优算法：枚举断点，求最少标量乘法次数。
- 贪心算法：每次优先消去最大中间维度。
复杂度：
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| DP | O(n^3) |
O(n^2) |
| 贪心 | O(n^2) |
O(n) |
测试结果：
- 经典样例
[30,35,15,5,10,20,25]，DP 结果为15125。 - 随机测试中未出现贪心优于 DP 的情况。
- 找到反例：
[5,6,5,4]，贪心结果250，DP 最优结果240。
结论：贪心速度较快，但不能保证最优；DP 能保证最优解。
4. 皇后问题回溯
算法思路：逐行放置皇后，用列数组、主对角线数组、副对角线数组判断当前位置是否冲突；若合法则继续递归，否则回溯。
复杂度：
- 时间复杂度：最坏约
O(n!) - 空间复杂度：
O(n)
测试输入 n=8，输出前 3 个解，并统计总解数：
1 5 8 6 3 7 2 4
1 6 8 3 7 4 2 5
1 7 4 6 8 2 5 3
92
结论：8 皇后共有 92 个可行解，程序输出正确。
三、实验总结
本次实验验证了分治、动态规划、贪心和回溯算法的基本特点：分治适合递归拆分问题；动态规划能保证全局最优；贪心效率高但可能非最优；回溯适合枚举约束解空间，但规模增大后搜索代价较高。